Uzdevums 8.1. Firmai “H” lai paplašinātu ražošanu, vajag speciālas iekārtas. Iekārtu vērtība – 350000 Ls, ekspluatācijas termiņš – 5 gadi, pēc tam iekārtas tiek norakstītas. Lai iegadātos iekārtas īpašumā firmai nepieciešams kredīts, kas var būt izsniegts uz 5 gadiem ar 14% gada likmi, kas tiek dzēsts ar vienādām daļām katra gada beigās. Iekārtas var piedāvāt arī līzinga firma “L” ar nomas noteikumiem uz 5 gadiem. Nomas maksa sastāda 120000 Ls gadā, kas tiek izmaksāta katra perioda beigās. Pie tam, visi izdevumi, kas ir saistīti ar iekārtu apkalpošanu, veic līzinga firma. Nodokļu likme uz peļņu sastāda 50%. Firma izmanto vienmērīgu savu aktīvu vērtības norakstīšanas metodi.
Uzdevums 8.2. Firmai “F” ir nepieciešamas speciālas iekārtas ar vērtību 2000000 Ls. Ekspluatācijas termiņš – 6 gadi, atlikušā vērtība – 200000 Ls. Iekārtu iegādei firmai ir nepieciešams kredīts, kuru var saņemt uz 6 gadiem ar likmi 14% gadā, dzēšot ar vienādām summām katra gada beigās. Iekārtas var saņemt līzinga firmā “L” uz nomas noteikumiem ar termiņu 6 gadi. Nomas maksa sastāda 400000 Ls gadā, kuru jāmaksā katra perioda sākumā. Turklāt visus izdevumus, saistītus ar iekārtas apkalpošanu, sedz līzinga firma. Peļņas nodokļa likme ir vienāda abām firmām un sastāda 50%. Abas firmas noraksta savu aktīvu vērtības, izmantojot vienmērīgo norakstīšanas metodi.
Uzdevums 8.3. Uzņēmums “A” izskata iespēju iegādāties ražošanas iekārtas 12000000 Ls vērtībā. Iekārtu ekspluatācijas termiņš 8 gadi, pēc tam iekārtas tiks norakstītas. Iekārtas var iegādāties, saņemot bankas kredītu uz 8 gadiem ar 14% gada likmi, dzēšamu ar vienādiem ikgadējiem maksājumiem. Iekārtas arī var iznomāt uz 8 gadiem ar ikgadējo nomas maksu 2580676 Ls. Abos gadījumos iemaksas notiek katra gada beigās. Uzņēmums izmanto iekārtas vērtības vienmērīgo norakstīšanas metodi. Nodokļu likme 50%. Noteikt visizdevīgāko projekta finansēšanas veidu uzņēmumam “A”.
Uzdevums 8.4. Būvniecības firmai “K” ir nepieciešams krāna jaunais modelis, kuru var nopirkt īpašumā vai iznomāt. Krāna vērtība ir 10000000 Ls. Plānotais ekspluatācijas termiņš ir 5 gadi, pēc tam atlikušā vērtība sastādīs 1000000 Ls. Ikgadējā nomas maksa par krāna izmantošanu sastāda 2200000 Ls, kas izmaksājama katra perioda sākumā. Piecu gadu kredīta vērtība, kuru vajadzēs dzēst ar vienādiem maksājumiem katra perioda sākumā, ir 14% gadā. Firma izmanto savu aktīvu vērtības vienmērīgo norakstīšanas metodi. Nodokļu likme 45%. Kādam finansēšanas veidam dot priekšroku? Kādēļ?
Uzdevums 8.5. Līzingu firmā griežas klients ar priekšlikumu iznomāt iekārtas ar vērtību 1000000 Ls uz 5 gadiem. Iekārtu atlikusī vērtība – 100000 Ls. Pieprasītā ienesīguma norma firmai ir 10%. Peļņas nodokļa likme ir 40%. Noteikt nomas maksas lielumu un dotās operācijas veikšanas lietderību līzinga firmai.
Uzdevums 8.6. Korporācija “H” plāno paplašināt savas produkcijas realizāciju un nopirkt jaunas iekārtas ar vērtību 4000000 Ls. Iekārtas tiks izmantotas 4 gadu laikā, pēc tam tās likvidācijas vērtība sastādīs 1000000 Ls. Pirkšanai korporācijai ir nepieciešams kredīts iekārtas vērtības apmērā ar 16% gada likmi. Kredītu nepieciešams dzēst četru gadu laikā ar vienādiem maksājumiem katra gada sākumā. Līzingu firma “L” piedāvā iznomāt iekārtas uz 4 gadiem ar ikgadējo nomas maksu 1000000 Ls, maksājamu katra perioda beigās. Nodokļu likme abām firmām 50%. Abas firmas izmanto iekārtu vērtības vienmērīgu norakstīšanas metodi. Noteikt: a) visefektīvāko finansēšanas avotu korporācijai “H”; b) nomas maksas lielumu, kas nodrošina firmai “L” ienesīguma normu 10%. a) visefektīvāko finansēšanas avotu korporācijai “H”; b) nomas maksas lielumu, kas nodrošina firmai “L” ienesīguma normu 10%.
Uzdevums 8.7. Līzinga firma “M” saņem priekšlikumu no klienta noslēgt iekārtas nomas līgumu, kura vērtība ir 2000000 Ls. Līguma termiņš ir 5 gadi, iekārtas atlikusī vērtība pēc termiņa beigām ir 200000 Ls. Peļņas nodokļu likme firmai “M” ir 32%, pieprasītā ienesīguma norma – 12%. Firma izmanto iekārtas vērtības vienmērīgo norakstīšanas metodi. Kāda nomas maksa nodrošinās firma “M” pieprasīto ienesīguma normu, ja: a) maksājumi notiek divreiz gadā, katra perioda sākumā; b) maksājumi notiek katru mēnesi, katra perioda beigās.
Uzdevums 8.8. Izmantojot datus no iepriekšējā piemēra, noteikt nomas maksu, kura nodrošinās firmai “M” pieprasīto ienesīguma normu, ja: a) maksājumi notiek vienu reizi gadā, katra perioda beigās un firma izmanto savu aktīvu vērtības dubulto norakstīšanas metodi; b) maksājumi notiek vienu reizi gadā katra perioda sākumā un firma izmanto savu aktīvu vērtības gadu summu norakstīšanas metodi.
Uzdevums 8.9. Noteikt līzinga operācijas efektivitāti firmai “M” (uzdevums 8.7.), ja likme pēc piecgadīga kredīta sastāda 10%, bet nodokļu likme 35%. a) maksājumi notiek divreiz gadā, katra perioda sākumā; b) maksājumi notiek katru mēnesi, katra perioda beigās.
Vispārīgā nozīmē optimizācijas process – vislabākā varianta izvēle starp liela daudzuma iespējamajiem vai pieļaujamajiem variantiem. EXCEL programmā ir speciāls līdzeklis – Solver – kurš ļauj risināt matemātiskās programmēšanas uzdevumus.
Lai izmantotu Solver, nepieciešams speciālā dialogu logā noteikt mērķa šūnu, mainīgās šūnas un ierobežojumus, ja ierobežojumi eksistē. Apskatīsim Solver iespējas drošības robežas analīzes uzdevumu piemērā, investīciju projekta maksājumu plūsmu vērtību novērtēšanas laikā.
Drošības robežas analīze maksājumu plūsmas novērtēšanai
Kopējā gadījumā uzdevumu var formulēt sekojoši: noteikt iespējamo kļūdas lielumu maksājumu plūsmai, kura nodrošina operāciju bez zaudējumiem (t.i. NPV nulles vērtība). Izmantosim datus no uzdevuma 5.1. Izveidosim tabulu un ierakstīsim formulas.
Dotajā tabulā izmantosim tikai vienu lietotāja šūnas adresi – Kļūda – šūnai B6. Šūnas bloks C11:C16 satur maksājumu plūsmu, koriģētu uz kļūdas lielumu (bāzes formula dotajām blokam ir uzdota šūnā C11 un tiek kopēta nepieciešama skaitā). Sākumā kļūdas lielums ir 0, tādēļ, koriģētā maksājuma plūsma sakrīt ar doto.
Sāksim uzdevuma aprēķinu. Vispirms ir nepieciešams noteikt kāda šūna būs izmantota kā mērķa šūna (Set Target Cell). Dotajā gadījumā, tā būs šūna, kura satur formulu NPV aprēķinam, t.i. C18. Tās lielums ir atkarīgs no maksājumu plūsmas vērtībām (šūnu bloks C11:C16) un uzdevuma risinājuma rezultāts būs vienāds ar 0 (Value of 0).
Attiecīgi, kā mainīgo šūnu (By Changing Cells) izmantosim šūnu, kura tieši ietekmēs maksājumu plūsmu vērtības, t.i. šūna, kura satur kļūdas lielumu – B6.
Izvēlņu joslā izvelieties tēmu Tools, punktu Solver... un aizpildiet laukus dialogu logā. Nospiediet pogu Solve, pēc tam OK.
Aprēķinu rezultāti parāda, ka projektam ir laba drošības rezerve un tas būs bez zaudējumiem, pat ja maksājumu plūsmu vērtības novērtēšanas kļūda sastādīs 36.41%.
Investīciju portfeļa optimizācija ierobežota budžeta apstākļos
Uzdevums 7.2.
Firma izskata iespēju piedalīties 6 projektu finansēšanā. Projektu realizācijas noteikumi parādīti sekojošā tabulā. Firmas investīciju fonds vienāds ar 250000 Ls.
Šūnu bloki B3:B8 un C3:C8 satur mērķa funkcijas koeficientus un ierobežojumus. Koeficientu un mainīgo reizinājumi ir realizēti ar formulām šūnu blokos D3:D8 un E3:E8 (bāzes formulas ir dotas šūnās D3 un E3, kurus nepieciešams nokopēt).
Meklējamo vērtību glabāšanai paredzēts šūnu bloks F3:F8, kura sākumā vērtības nav zināmas un ir vienādas ar 0. Modeļa attiecības ir realizētas ar formulām šūnās D9 un E10 (attiecīgi mērķa funkcija un ierobežojumu funkcija).
Izvelēsimies tēmu Tools no EXCEL izvēlņu joslas, punktu Solver un ievadīsim sākuma lielumus dialogu logā, kā paradīts zīmējumā. Ierobežojumu var pievienot izpildot klikšķi uz pogas Add.
Veselu skaitļu optimizācija
Praksē ļoti bieži var sastapt projektus, kurus nevar realizēt pa daļām. Turklāt, paši investīcijas objekti nevar būt sadalīti (piemēram, ēkas, personāls un citi). Dotajā gadījumā ir lietderīgi izmantot veselu skaitļu optimizāciju.
Pievienosim izstrādātājam modelim ierobežojumu: Ievadīsim doto ierobežojumu darba lapā.
Izskatīsim vienkāršota šablona izstrādes un pielietošanas metodiku, kas ļaus automatizēt investīciju efektivitātes pamatkritēriju aprēķināšanas procesu.
Šablona pirmā daļa nepieciešama projekta realizācijas sākuma noteikumu ievadīšanai: pieņemto diskonta normu – r, realizācijas termiņu – n, iespējamās reinvestīcijas likmi – r1.
Pirms uzsākt šablona otrās daļas projektēšanu, vēlams noteikt šūnu nosaukumus, kuros ievadīsim dotos sākuma datus. Piedāvātie nosaukumi tiek parādīti tabulā:
Otra šablona daļa paredzēta sākuma datu ievadīšanai – maksājumu plūsmai. Šī tabula sastāv no divām kolonām: maksājuma datums un maksājuma summa.
Tā kā mēs nevaram jau iepriekš zināt maksājuma plūsmas sadali vienā vai otrā gadījumā, šī tabula sastāv no divām rindām, ļaujot uzdot minimāli iespējamo plūsmu. Tāda plūsma sastāv no sākotnējo investīciju lieluma (šūna B9) un pēdējā (iespējams vienīgā) līdzekļu ienākuma (šūna B10). šūnu bloks A9:A10 paredzēts maksājumu plūsmu datumiem.
Trešā šablona daļa (šūnu bloks B11:B14) satur efektivitātes kritēriju vērtību aprēķina formulas. Darbību izpildes kārtība izmantojot formulas parādīta sekojošā tabulā:
Izmantojot bāzes šablonu un ievietojot nepieciešamo rindiņu skaitu šūnu blokā A9:B10 pirms desmitās rindiņas, var viegli iegūt tabulu jebkuram periodu skaitam. Šajā gadījumā šūnu adreses formulā būs nokopētas korekti, jo mēs jau iepriekš nodrošinājām to absolūto adresāciju ar noteiktiem nosaukumiem. Pārbaudīsim šablona darbošanās spēju nākamajos uzdevumos:
Uzdevums 6.1.
Firma izskata iespēju investīcijas projekta realizēšanai, kura darbības laiks sastāda 6 gadus. Diskonta norma vienāda reinvestīcijas likmei un sastāda 10%. Projekta maksājumu plūsma pēc parādīta sekojošā tabulā. Noteikt projekta efektivitātes kritēriju vērtības.
Tabula. Projekta maksājumu plūsma
Datums
25.01.90
25.01.91
25.01.92
25.01.93
25.01.94
25.01.95
Maksājumi
-1000
-100
700
600
400
150
Uzdevums 6.2.
Projekta realizācija paredz izdevumus 60000 Ls apmērā un ir plānots, ka tas dod tīru skaidras naudas plūsmu ar sekojošu struktūru: 10000, 15000, 15000, 20000, 15000, 10000, 5000. Noteikt:
NPV, PI, IRR dotajam projektam pie diskonta normas 10% un 15%;
NPV, PI, IRR ar noteikumu, ka naudas iemaksas ir vienādas un sastāda 13000 Ls, diskonta normas 10% un 15%;
c) kā mainās NPV, PI, IRR, ja pēdējā naudas iemaksa palielināsies līdz 10000 Ls, vai samazināsies līdz 2000 Ls?
Firma plāno iegādāties jaunas iekārtas, kuru vērtība ar piegādi un uzstādīšanu sastāda 100000 Ls. Tiek gaidīts, ka jaunas iekārtas iegāde dos tīru peļņu 6 gadu laikā attiecīgi 25000, 30000, 35000, 40000, 45000 un 50000 Ls. Pieņemtā diskonta norma ir 10%. Noteikt projekta ekonomisko efektivitāti.
1. Aprēķins, neizmantojot finansu funkcijas. EXCEL programmā izveidot tabulu:
2. Aprēķins, izmantojot finansu funkcijas. EXCEL programmā izveidot tabulu:
Pieņemsim, ka maksājumi pēc projekta tiek veikti vienu reizi gadā vienā datumā. Iekārtas iepirkšanas datums – 30.01.1990.g.
Izskatīsim pretējo piemēru. Lai naudas plūsma pakāpeniski samazinās no 50000,00 Ls līdz 25000,00 Ls 6 gadu laikā ar tādu pašu intervālu. Diskonta norma – 10% (kolona E).
Uzdevums 5.2.
Firma izskata iespējas piedalīties divu savstarpēji izslēdzošu projektu finansēšanā, kuru realizācijas noteikumi doti tabulā. Pieņemtā diskonta norma projektiem ir 10%. Nepieciešams izvēlēties iespējami efektīvāku investīciju projektu. Aprēķināt NPV un PI abiem projektiem.
Excel programmā šūnām var piešķirt simboliskus vārdus (adreses), kurus nosaka lietotājs. Dotās adreses var izmantot formulās. Šūnu vārdu noteikšana dod ļoti daudz priekšrocības. Piemēram, formula =Daudzums*Cena iekļauj daudz vairāk informācijas nekā formula =A1*B1.
Nosakot simboliskus vārdus jāseko, lai:
vārds sāktos ar burtu vai “_” simbolu (pasvītrojums);
vārdos nebūtu atstarpes, kā atdalītājus var izmantot zīmi “_” (piemēram, Izmaksu_skaits);
vārda garums nepārsniedz 255 simbolus.
Šūnas adreses noteikšanai ir nepieciešams izpildīt sekojošas darbības:
aktivizēt šūnu (t.i. nostādīt kursoru);
novietot kursoru vārdu logā (Name Box);
ievadīt no klaviatūras nepieciešamo vārdu un nospiest taustiņu [ENTER].
Šablona izmantošana:
Ievadīt sākumlielumus šūnu blokā A6...E6. Šūnā C9 parādīsies periodiskā maksājuma aprēķina rezultāts, bet F9 – kopējo periodu skaits operācijas veikšanai.
Aktivizējiet šūnu A12. No izvēlnes Edit izvēlieties sadaļu Fill (aizpildīt), no tās komandu Series (virknes). Ieslēdziet izvēles lauciņu Columns. Lauciņā Stop value – ievadīt periodu skaitu. Nospiediet pogu [OK].
No bloka B12...F12 nokopējiet formulas nepieciešamā skaitā.
Banka izsniedz kredītu 10 000 Ls apmērā uz 5 gadiem ar likmi 15% gadā, kuri tiek aprēķināti vienu reizi katra perioda beigās. Kredīts tiks dzēsts ar vienādām daļām visa minētā termiņa laikā, atmaksājot noteikta summas daļu katra perioda beigās. Izstrādāt kredīta dzēšanas plānu.
4.2. uzdevums
Izstrādājiet kredīta dzēšanas plānu, saņemtu uz sekojošiem noteikumiem:
50000 Ls uz 7 gadiem ar likmi 8%, aprēķinot procentus vienu reizi gadā;
100000 Ls uz 10 gadiem ar likmi 5%, aprēķinot procentus vienu reizi ceturksnī;
75000 Ls uz 3 gadiem ar likmi 12%, aprēķinot procentus vienu reizi mēnesī.
Noteikt nākamā ieguldījuma lielumu 10000 Ls apmērā, noguldīto bankā uz 5 gadiem ar likmi 5% gadā, gadījumā, ja procentu aprēķināšana notiek:
a) vienu reizi gadā;
b) vienu reizi pusgadā;
c) vienu reizi ceturksnī;
d) vienu reizi mēnesī.
1.2. uzdevums
Par ieguldījumu 10000 Ls apmērā, ieguldīto bankā uz 5 gadiem ar likmi 5% gadā, tika izmaksāta summa 12762.82 Ls. Noteikt operācijas veikšanas termiņu (aprēķināšanas periodu skaitu), gadījumā, ja procentu aprēķināšana notiek:
a) vienu reizi gadā;
b) vienu reizi pusgadā;
c) vienu reizi ceturksnī;
d) vienu reizi mēnesī.
1.3. uzdevums
Par ieguldījumu 10000 Ls apmērā, ieguldīto bankā uz 5 gadiem tika izmaksāta summa 12762.82 Ls apmērā. Noteikt procentu likmi.
1.4. uzdevums. (Palielināšana).
Aprēķināt lielumus un konstruēt summas 1 Ls apmērā pieauguma grafikus pēc sarežģīto procentu likmēm, gadījumā, ja: r1=0.1; r2=0.15; r3=0.20, pie n = 1, 2, ..., 11, 12. (FV = f(n)).
1.5. uzdevums. (Diskontēšana).
Aprēķināt lielumus un konstruēt grafikus, kuri atspoguļo summas 1 Ls diskontēšanas procesu uz sarežģītiem procentiem, gadījumā, ja: r1=0.1; r2=0.15; r3=0.20, pie n = 1, 2, ..., 11, 12. (PV = f(n)).
Maksājumu plūsmas vienādu maksājumu sēriju veidā (anuitāte)
EXEL funkcijas (FV, PV, NPER, RATE, PMT) maksājumu plūsmu analīzei
3.1. uzdevums
Noteikt periodiskā maksājuma summu pie uzdota fonda lieluma 46410 Ls apmērā, kurš tika veidots 4 gadu laikā, ieguldot bankā ar likmi 15% gadā.
3.2. uzdevums
Finansu kompānija veido saistību dzēšanu fondu ieguldot bankā summu 50 000 Ls apmērā ar turpmākajām gada papildiemaksām 10 000 Ls apmērā. Depozīta likme ir 10% gadā. Kāds būs fonda lielums 4. gada beigās?
3.3. uzdevums
Korporācija plāno katru gadu, 10 gadu laikā, veikt atskaitījumus 5000 Ls apmērā, lai veidotu savu obligāciju izpirkšanai. Naudas līdzekļi tiek ieguldīti bankā ar likmi 12% gadā. Kāda summa tiks uzkrāta termiņa beigās, ja
procenti tiek aprēķināti katra perioda beigās;
sākumā?
3.4. uzdevums
Firma “B” plāno ikgada atskaitījumus 10000 Ls apmērā pensijas fonda izveidošanai. Procentu likme ir 10%. Kāds būs fonda lielums pēc:
5 gadiem;
10 gadiem;
12 gadiem;
15 gadiem.
3.5. uzdevums
Kāda ir anuitātes tekošā vērtība, izmaksājot 10000 Ls katru gadu 8 gadu laikā pēc likmes 5%?
3.6. uzdevums
Korporācija “K” plāno zemes gabala nopirkšanu, kura vērtība ir 100000 Ls. Kādam jābūt ikgadējām maksājuma lielumam, lai izveidotu fondu 10 gadu laikā, ja procentu likme ir:
5%,
10%,
12%,
15%.
3.7. uzdevums
Cik gadus vajadzēs izmaksāt summu 10000 Ls apmērā ar vienādiem maksājumiem 2309,75 Ls apmērā pie procentu likmes 5%?
3.8. uzdevums
Darbinieks “A” nolēma iet pensijā. Firma, kurā viņš strādā, piedāvā divu variantu pensijas izmaksai:
vienreizējās izmaksas veidā 55000 Ls apmērā;
ikgadējo izmaksu 10000 Ls 10 gadu laikā. Kādu pensijas variantu jūs rekomendēsiet viņam, ja procentu likme pēc bankas depozītiem ir 10%?
Izmantojot izveidot šablonu, aprēķināt sekojošus uzdevumus.
2.2. uzdevums.
Firma plāno paņemt kredītu 100 000 Ls apmērā uz 5 gadiem ar likmi 12% gadā. Procenti tiek aprēķināti katru ceturksni un tiek izmaksāti kopā ar pamatparāda summu pēc kredīta termiņa beigām. Noteikt summu, kuru ir nepieciešams izmaksāt kredīta dzēšanas brīdī.
2.3. uzdevums.
Augstākminētai firmai ir alternatīva iespēja paņemt kredītu 100 000 Ls apmērā uz 5 gadiem ar likmi 11% gadā. Procenti tiek aprēķināti katru mēnesi. Kāds no kredīta saņemšanas variantiem ir izdevīgāks?
2.4. uzdevums
Noteikt nākamā ieguldījuma lielumu 10000 Ls apmērā, noguldīto bankā uz 5 gadiem ar likmi 5% gadā, gadījumā, ja procentu aprēķināšana notiek:
a) vienu reizi gadā;
b) vienu reizi pusgadā;
c) vienu reizi ceturksnī;
d) vienu reizi mēnesī.
2.5. uzdevums
Par ieguldījumu 10000 Ls apmērā, ieguldīto bankā uz 5 gadiem ar likmi 5% gadā, tika izmaksāta summas: a) 12762.82 Ls, b) 12800.85 Ls, c) 12820.37 Ls, d) 12833.59 Ls. Noteikt operācijas veikšanas termiņu (aprēķināšanas periodu skaitu), gadījumā, ja procentu aprēķināšana notiek:
a) vienu reizi gadā;
b) vienu reizi pusgadā;
c) vienu reizi ceturksnī;
d) vienu reizi mēnesī.
2.6. uzdevums
Par ieguldījumu 10000 Ls apmērā, ieguldīto bankā uz 5 gadiem tika izmaksāta summa 12762.82 Ls apmērā. Noteikt procentu likmi.
A TV company produces two types of TV sets, the Astro and the Cosmo. There are two production lines, one for each set, and there are two departments, both of which are used in the production of each set. The capacity of the Astro production line is 70 TV sets per day. The capacity of the Cosmo line is 50 TV sets per day. In department A picture tubes are produced. In this department the Astro set requires 1 labor hour and the Cosmo set requires 2 labor hours. Presently in department A a maximum of 120 labor hours per day can be assigned to production of the two types of sets. In department B the chassis is constructed. In this department the Astro set requires 1 labor hour and the Cosmo also requires 1 labor hour. Presently, in department B a maximum of 90 labor hours per day can be assigned to production of the two types of sets. The profit contributions are 20 and 10 dollars, respectively, for each Astro and Cosmo set.
If the company can sell as many Astro and Cosmo sets as it produces, what should be the daily production plan (i.e., the daily production) for each set? Formulate Astro and Cosmo as an LP model. Write the symbolic LP model, develop the Excel LP model, and optimize it with Solver.
The Petersons decide that the Variable Cost per Copy is more complicated than in the current XerTech model in which supplies cost $.02 per copy and the average repair cost per copy is $.01. They now believe that the average repair cost per copy is more than proportional to the monthly number of copies made per copier. They estimate the relationship as below. Modify the XerTech model to incorporate this new information and prepare a report for the Petersons with these new results.
